Matematika A razina Lekcija 3: Terminologija

Lekcija 3 of 39

U tijeku

← Previous Next→

Lekcija 3: Terminologija

Lekcija 3: Terminologija
Pojmovi i činjenice koje trebate znati za nastavak tečaja

U ovoj lekciji donosimo pregled najvažnijih matematičkih pojmova i činjenica koji se često koriste u daljnjem gradivu. Razumijevanje ovih termina olakšat će rješavanje zadataka i praćenje naprednijih tema. Iako se neke definicije čine osnovnima, važno je imati čvrste temelje kako biste bez poteškoća savladali zahtjevnije dijelove gradiva.

1. Osnovne operacije i svojstva

Adicija (zbrajanje)

Definicija: Operacija kojom se dvije ili više vrijednosti (brojevi, polinomi itd.) zbrajaju u jednu rezultantnu vrijednost (zbroj).
Svojstva:
- Komutativnost: $a + b = b + a$
- Asocijativnost: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Aritmetika

Što obuhvaća: Bavi se brojevima (najčešće prirodnim, cijelim, racionalnim) i osnovnim računskim operacijama: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.
Zašto je važna: Smatra se “kraljicom matematike” jer čini osnovu za daljnje računske i algebraičke koncepte.

Komutativnost

Definicija: Svojstvo kod kojeg se redoslijed operanada može zamijeniti, a rezultat ostaje isti (npr. $a + b = b + a, a \times b = b \times a)$ .
Primjena: Vrijedi za zbrajanje i množenje realnih brojeva, no ne vrijedi za oduzimanje ili dijeljenje.

Asocijativnost (udruživanje)

Definicija: Svojstvo računske operacije kod koje način grupiranja operanada ne mijenja krajnji rezultat (npr. $(a + b) + c = a + (b + c)$ ).
Primjeri: Zbrajanje, množenje realnih brojeva.

Distributivnost

Definicija: Svojstvo po kojem množenje “distribuira” zbrajanje: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ .
Važnost: Omogućuje razvijanje algebarskih izraza (npr. proširivanje zagrada).

2. Temeljni pojmovi iz algebre

Algebra

Što proučava: Granа matematike koja se, uz brojeve, bavi i općim oznakama (simbolima, nepoznanicama, varijablama).
Važnost: Osim rješavanja jednadžbi i nejednadžbi, algebra uključuje i koncept funkcija, polinoma, sustava jednadžbi, matrica, vektorskih prostora i sl.

Binom

Definicija: Algebarski izraz sastavljen od dvaju članova povezanih zbrajanjem ili oduzimanjem (npr. $a + b$ , $x - 3$ ).
Kvadrat binoma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Trinom

Definicija: Algebarski izraz s tri člana (npr. $x^2 + 3x - 7$ ).
Važnost: Čest je u kvadratnim jednadžbama i funkcijama.

Monom

Definicija: Algebarski izraz koji se sastoji od jednog jedinog člana, obično oblika $kx^n$ (npr. $2x$ , $4ax^3$ , $\frac{3}{5}y$ ).
Primjena: Osnova pri definiranju polinoma i pojednostavljivanju algebarskih izraza.

Binomni koeficijenti

Definicija: Koeficijenti koji se javljaju u ekspanziji $(1 + x)^n$ , često označeni kao $\binom{n}{k}$ .
Mjesto pojavljivanja: Važni su u Pascalovu trokutu, kombinatorici i statistici (npr. binomna raspodjela).

Polinom

U užem smislu: Algebarski izraz oblika $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ , gdje su $a_i$ koeficijenti, a $n$ je konačan.
Primjena: U rješavanju jednadžbi višeg stupnja, analizi funkcija, modeliranju u prirodnim i tehničkim znanostima.

3. Brojevi i njihova svojstva

Brojevni sustavi

Poziocijski i nepoziocijski:
- Poziocijski (dekadski, binarni) – vrijednost znamenke ovisi o njezinu mjestu (poziciji).
- Nepoziocijski (rimski brojevi) – svakom simbolu dodijeljena je unaprijed zadana vrijednost, neovisno o položaju.
Najčešći u praksi: Dekadski sustav (baziran na broju 10).

Racionalni i iracionalni brojevi

Racionalni: Mogu se izraziti u obliku $\frac{m}{n}$ (gdje je $m$ i $n$ cijeli broj, $n \neq 0$ ).
Iracionalni: Nije ih moguće izraziti omjerom dvaju cijelih brojeva (npr. $\pi$ , $\sqrt{2}$ ). Njihov decimalni zapis je beskonačan i neperiodičan.

Aproksimacija

Definicija: Približno izračunavanje ili zapisivanje neke vrijednosti kada je točno rješenje nezgodno ili prekomplicirano (npr. $\pi \approx 3.14$ ).
Primjena: Svakodnevni izračuni (npr. zaokruživanje) ili numeričke metode u naprednijim temama.

Najveći zajednički djelitelj (NZD) i najmanji zajednički višekratnik (NZV)

NZD (npr. $\gcd(a, b)$ ): Najveći prirodni broj koji istovremeno dijeli i $a$ i $b$ .
NZV (npr. $\mathrm{lcm}(a, b)$ ): Najmanji prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$ .

Postotak i promil

Postotak: Stoti dio neke vrijednosti ( $p\%$ ). Na primjer, 5% od 300 je $\frac{5}{100} \times 300 = 15$ .
Promil: Tisućiti dio (‰). Npr. 7‰ od 1000 iznosi 7.

4. Relacije, skupovi i elementi

Skup

Definicija: Temeljni pojam matematičke teorije skupova; predstavlja kolekciju različitih objekata nazvanih elementima skupa.
Primjeri: $\{1, 2, 3\}$ , skup realnih brojeva $\mathbb{R}$ , skup svih učenika nekog razreda.

Element

Označavanje: Kažemo “ $x$ je element skupa $A$ ” i pišemo $x \in A$ .
Intuitivno značenje: Svaki objekt koji pripada skupu.

Disjunktni skupovi

Definicija: Skupovi koji nemaju zajedničkih elemenata; tj. $A \cap B = \varnothing$ .
Primjer: Skup svih parnih i skup svih neparnih cijelih brojeva.

Razmjer (proporcija)

Definicija: Jedna jednakost dvaju ili više omjera ( $a : b = c : d$ ).
Važnost: Koristi se pri usporedbi veličina, sličnosti trokuta, rješavanju praktičnih problema (postotci, mjerenje itd.).

5. Dodatni ključni pojmovi

Dijeljenje

Definicija: Operacija suprotna množenju, traži koliko je puta jedan broj (dijeljenik) sadržan u drugome (dijelitelj).
Rezultat: Kvocijent, ponekad i s ostatkom.

Periodični decimalni brojevi

Definicija: Decimalni brojevi koji nakon nekog mjesta imaju ponavljajući niz znamenaka (npr. 0.333…, 1.272727…).
Primjer: $\frac{1}{3} = 0.333....$

Pravila djeljivosti

Primjer: Broj je djeljiv s 2 ako je zadnja znamenka paran broj. Broj je djeljiv s 3 ako je zbroj znamenaka djeljiv s 3, itd.
Upotreba: Olakšava provjeru dijeli li neki broj drugi broj bez potrebe za “dugim dijeljenjem”.

Konstanta i varijabla

Konstanta: Vrijednost koja se ne mijenja tijekom problema ili funkcije (npr. $\pi$ , neke zadane numeričke veličine).
Varijabla: Veličina koja se može mijenjati (npr. $x$ u funkciji $f(x)$ ).

Razlomak

Definicija: Omjer dvaju brojeva $\frac{m}{n}$ . Pri čemu je m (brojnik) podijeljen s n (nazivnik), uz uvjet $n \neq 0$ .
Svojstva: Može se proširivati (umnožiti brojnik i nazivnik istim brojem) ili skraćivati (podijeliti brojnik i nazivnik zajedničkim djeliteljem).

Zaključak

Ova terminologija obuhvaća pojmove iz aritmetike, algebre i teorije brojeva koje ćete često susretati u sljedećim lekcijama i zadacima. Preporučujemo da povremeno pregledate ove definicije kako biste imali čvrst temelj za razumijevanje naprednijih tema, poput funkcija, derivacija, trigonometrijskih jednadžbi ili analitičke geometrije.

Ako vam je neki pojam nejasan, vratite se na ovu listu ili ga potražite u dodatnim izvorima. Temeljito poznavanje osnovne matematičke terminologije olakšat će vam napredovanje kroz cjelokupni program pripreme!

Matematika A razina

O ispitu matematike više razine na maturi