Dijeljenje s ostatkom

U ovoj lekciji bavimo se dijeljenjem s ostatkom, jednim od temeljnih postupaka u aritmetici. Dijeljenje s ostatkom posebno je korisno u svakodnevnim situacijama, poput raspodjele predmeta u jednake skupine, određivanja dana u tjednu s određenim ciklusom i slično.

1. Teorem o dijeljenju s ostatkom

Teorem: Za proizvoljni prirodni broj a i cijeli broj b postoje jedinstveni cijeli brojevi q (kvocijent) i r (ostatak) takvi da:

• q predstavlja najveći cijeli dio kvocijenta b/a.
• r je ostatak pri dijeljenju broja b s brojem a, a uvijek je manji od a.

> Napomena: Kada kažemo “jedinstveni” cijeli brojevi q i r, mislimo na to da nema drugih cjelobrojnih parova (q’, r’) koji bi na isti način zadovoljili gornju jednadžbu i uvjet:

2. Primjeri dijeljenja s ostatkom

2.1 Jednostavni primjeri

• Primjer 1: b = 14, a = 4
  • Pri dijeljenju 14 s 4, najviše puta što “4” stane u 14 jest 3 puta (jer 3 x 4 = 12).
  • Razlika do 14 iznosi 2 (14 – 12 = 2).
  • Dakle, q = 3, r = 2.
  • Provjera: 14 = 3 x 4 + 2, s 0 ≤ 2 < 4.

• Primjer 2: b = 27, a = 5
  • 27 ÷ 5 = 5 (cjelobrojni dio), jer 5 x 5 = 25.
  • Ostatak je 2 (27 – 25 = 2).
  • Dakle, 27 = 5 x 5 + 2.

2.2 Negativni ili veći brojevi

Teorem vrijedi i ako je b veći ili manji cijeli broj (npr. negativan), no za potrebe osnovne razine matematike obično se primjeri odnose na prirodne brojeve b (ili barem nenegativne).

3. Primjena u svakodnevnim primjerima

Raspodjela predmeta: Imate 25 olovaka i želite ih raspodijeliti u kutije od po 6. Koliko vam treba kutija i koliko olovaka ostaje?
25 = 4 x 6 + 1: Dobijete 4 pune kutije, a 1 olovka preostaje.

Modularno računanje (dani u tjednu): Ako želite znati koji je dan u tjednu nakon određenog broja dana, dijelite s 7 i promatrate ostatak.
Npr. ako je ponedjeljak i prođe 9 dana, 9 ÷ 7 daje kvocijent 1 i ostatak 2, što znači da je nakon 9 dana – s obzirom na “ciklus” od 7 dana – srijeda.

4. Zašto je dijeljenje s ostatkom važno?

• Osnova modularne aritmetike: Pojam “ostatka” pri dijeljenju uvelike se koristi u naprednijoj matematici (npr. kod kongruencija).
• Praktična primjena: Od raspodjele predmeta, zakazivanja termina, do rješavanja problema periodiciteta (primjerice, “svaki 7. dan” ili “svaki 12. mjesec”).
• Veza s prostim brojevima i NZD/NZV: Mnoge metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika (poput Euklidova algoritma) u pozadini koriste dijeljenje s ostatkom.

Ovim završavamo dio o dijeljenju s ostatkom. U narednim lekcijama vidjet ćemo kako se ovo svojstvo koristi kod rješavanja algebarskih problema (npr. pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja) i kako se primjenjuje u raznim situacijama koje uključuju razdiobu i periodičnost.