Prosti i složeni brojevi, najveći zajednički djelitelj (NZD) i najmanji zajednički višekratnik (NZV)

U ovoj cjelini upoznat ćemo se s temeljnim pojmovima prostih i složenih brojeva, te naučiti što su najveći zajednički djelitelj (NZD) i najmanji zajednički višekratnik (NZV) dvaju brojeva.

1. Prosti i složeni brojevi

1.1 Prosti (prim) brojevi

• Definicija: Prirodni brojevi koji su djeljivi samo s 1 i sa samim sobom.
• Značajka: Imaju točno dva pozitivna djelitelja: 1 i taj broj.
• Primjeri prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Napomena: Broj 1 nije niti prost niti složen.

1.2 Složeni (kompozitni) brojevi

• Definicija: Prirodni brojevi koji nisu prosti, tj. imaju više od dva djelitelja.
• Primjeri složenih brojeva: 4, 6, 8, 9, 10, 12…

Primjer: Broj 6 ima djelitelje 1, 2, 3 i 6 (ukupno 4 djelitelja), pa je složen.

2. Najveći zajednički djelitelj (NZD)

2.1 Definicija

• Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b (oznake: nzd(a,b) ili gcd(a,b) je najveći prirodni broj koji ujedno dijeli i broj a i broj b.
• Primjer: Za brojeve 18 i 24, nzd(18,24) je najveći broj koji dijeli i 18 i 24 bez ostatka.

2.2 Postupak traženja NZD-a (metoda zajedničkog dijeljenja)

1. Istovremeno dijelite oba broja zajedničkim prostim djeliteljem dokle god je to moguće.
2. Za svaki korak u kojem ste mogli podijeliti oba broja, taj prosti djelitelj je dio traženog NZD-a.
3. Kad više nije moguće istodobno dijeliti oba broja, zaustavite se.
4. Umnožak svih tako dobivenih prostih faktora jest najveći zajednički djelitelj.

Primjer: nzd(18,24)

• 18 možemo rastaviti na 2 x 3 x 3
• 24 možemo rastaviti na 2 x 2 x 2 x 3
• Zajednički faktori: jedan 2 i jedan 3 –> 2 x 3 = 6
• Dakle, nzd(18,24) = 6.

3. Najmanji zajednički višekratnik (NZV)

3.1 Definicija

Najmanji zajednički višekratnik brojeva a i b (oznake: nzv(a,b) ili lcm(a,b)) je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i broja a i broja b.

Primjer: Za brojeve 18 i 24, nzv(18,24) je najmanji broj koji je djeljiv i s 18 i s 24.

3.2 Postupak traženja NZV-a (metoda zajedničkog i daljnjeg dijeljenja)

1. Kao i kod NZD-a, zajednički dijelite oba broja njihovim zajedničkim prostim djeliteljima dok je moguće.
2. Zasebno nastavite faktorizirati svaki broj dok ne dođete do 1 (ili dok nisu iscrpljeni svi prosti čimbenici).
3. Svi dobiveni faktori (i oni zajednički i oni koji su ostali) ulaze u umnožak koji nam daje nzv(a,b).

Primjer: nzv(18,24)

18 = 2 x 3 x 3

24 = 2 x 2 x 2 x 3

Uzmemo sve faktore: tri dvojke (ukupno), dvije trojke (najveća potencija 3 koja se javlja je , a vidimo da je zajedničko samo jedan put 3, ali da 18 nosi još jednu 3, pa i ona mora ući u proizvod).

Konačno: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72

Dakle, nzv(18,24) = 72.

> Kratka provjera:

4. Povezanost NZD-a i NZV-a

Za dva broja a i b vrijedi:

Primjer:

• a = 18, b = 24, nzd(18,24) = 6, nzv(18,24) = 72
• Provjera: 6 x 72 = 432, a 18 x 24 = 432.

5. Zašto je ovo bitno?

• Prosti i složeni brojevi: temelj su faktorizacije i razumijevanja “gradivnih elemenata” prirodnih brojeva.
• NZD: omogućuje pojednostavljivanje razlomaka, rješavanje zadataka podjele predmeta, dijafantskih jednadžbi itd.
• NZV: koristi se pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka s različitim nazivnicima, pri traženju “najbržeg” zajedničkog ritma (primjerice, u problemima s periodom) i drugim praktičnim primjenama.

Ovim završavamo pregled prostih i složenih brojeva te NZD-a i NZV-a. U sljedećim koracima ćete naučiti kako ova znanja primijeniti u algebraičkim zadacima, pri radu s razlomcima i u svakodnevnim problemskim situacijama.