Računske operacije među skupovima

U ovoj lekciji istražit ćemo osnovne odnose i računske operacije koje se mogu provoditi nad skupovima: uniju, presjek, razliku, komplement, te pojmove podskupa i kardinalnog broja. Razumijevanje ovih operacija i pojmova ključno je za daljnji rad u matematici, posebno kada se bavimo logičkim i skupovnim zadacima ili složenijim strukturama.

1. Podskup i univerzalni skup

1.1 Podskup

Kažemo da je skup A podskup skupa B ako svaki element skupa A ujedno pripada skupu B. Drugim riječima, nema elementa u A koji se ne nalazi u B.

Oznaka:

Primjer: Ako je A = {1, 2} i B = {1,2,3}, tada vrijedi

1.2 Univerzalni skup

Ako unutar nekog “okvira” ili konteksta (npr. ako govorimo samo o prirodnim brojevima) promatramo odnose među njegovim podskupovima, onda taj “okvir” nazivamo univerzalni skup. Označavamo ga s U.
Primjer: Ako je zadani univerzum ili “okvir” U = {1,2,3,4,5}, svaki drugi skup koji uzmemo za promatranje (npr. {1,4}) možemo smatrati podskupom unutar tog univerzuma.

2. Unija, presjek i disjunktni skupovi

2.1 Unija skupova

Unija dvaju skupova A i B definira se kao skup svih elemenata koji pripadaju barem jednom od tih skupova.

Oznaka:

Primjer: Ako je A = {1,2}, a B = {2,3}, tada

2.2 Presjek skupova

Presjek dvaju skupova A i B definira se kao skup svih elemenata koji pripadaju istovremeno i skupu A i skupu B.

Oznaka:

Primjer: Ako je A = {1,2}, a B = {2,3}, tada

2.3 Disjunktni skupovi

Skupovi A i B su disjunktni ako nemaju zajedničkih elemenata u presjeku. Drugim riječima,

Primjer: Ako je A = {1,2}, a B = {3,4}, tada je

pa su A i B disjunktni skupovi.

3. Razlika i komplement

3.1 Razlika skupova

Razlika skupova A i B definira se kao skup svih elemenata koji se nalaze u skupu A, ali ne u skupu B.

Oznaka:

Primjer: Ako je A = {1,2,3}, a B = {2,4}, tada

3.2 Komplement skupa

Ako je A podskup od U, komplement skupa A je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji se ne nalaze u A.
Oznaka:

Primjer: Ako je U = {1,2,3,4} i A = {2,3}, tada

4. Kardinalni broj skupa i prazan skup

4.1 Kardinalni broj skupa

Kardinalni broj (ili veličina) skupa S označavamo s card(S) i on predstavlja broj elemenata tog skupa.
Primjer: Ako je S = {2,4,6}, tada je card(S) = 3.

4.2 Prazan skup

Prazan skup je skup bez ijednog elementa. Za njega uvijek vrijedi card(S) = 0.
Oznaka:

Primjer:

može biti prazan skup ako A i B nemaju zajedničkih elemenata.

5. Zašto su ove operacije važne?

• Računske operacije među skupovima daju temelj za logičko zaključivanje, rješavanje problema u kombinatorici i razumijevanje složenih matematičkih struktura.
• Pojmovi unije, presjeka i razlike često se primjenjuju u množinama, funkcijama, vjerojatnosti (gdje koristimo događaje umjesto skupova) i drugim granama matematike.
• Kardinalni broj presudno je važan u kombinatorici, statistikama i pri analiziranju konačnih skupova.

Ovim smo obuhvatili ključne pojmove računa sa skupovima: od podskupa i univerzalnog skupa, preko unije, presjeka i razlike, do komplementa i kardinalnog broja. U sljedećim ćemo lekcijama vidjeti kako se ovi koncepti koriste u složenijim matematičkim zadacima i situacijama.